Resolver {l}{2x-2y=12}{5x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 12 } \\ { 5 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=-7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-2y=12$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=2y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+12\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 12+2y.

$$x=y+6$$

Ordeztu y+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-2y=9).

$$5\left(y+6\right)-2y=9$$

Egin 5 bider y+6.

$$5y+30-2y=9$$

Gehitu 5y eta -2y.

$$3y+30=9$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-7$$

Ordeztu -7 y balioarekin x=y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-7+6$$

Gehitu 6 eta -7.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=-7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

Egin 5x-2y=9 ken 2x-2y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-5x-2y+2y=12-9$$

Gehitu -2y eta 2y. Sinplifikatu egiten dira -2y eta 2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-5x=12-9$$

Gehitu 2x eta -5x.

$$-3x=12-9$$

Gehitu 12 eta -9.

$$-3x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin 5x-2y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$5\left(-1\right)-2y=9$$

Egin 5 bider -1.

$$-5-2y=9$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-7$$