Resolver {l}{2x=2-3y}{6y=3-2x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x = 2 - 3 y } \\ { 6 y = 3 - 2 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$2x+3y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$6y+2x=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=2,2x+6y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=2$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+6y=3).

$$2\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+6y=3$$

Egin 2 bider -\frac{3y}{2}+1.

$$-3y+2+6y=3$$

Gehitu -3y eta 6y.

$$3y+2=3$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}+1$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{1}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{2}+1$$

Gehitu 1 eta -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$2x+3y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$6y+2x=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=2,2x+6y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\2&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 6-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 6-3\times 2}&\frac{2}{2\times 6-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$2x+3y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$6y+2x=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=2,2x+6y=3$$

Egin 2x+6y=3 ken 2x+3y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+3y-6y=2-3$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-6y=2-3$$

Gehitu 3y eta -6y.

$$-3y=2-3$$

Gehitu 2 eta -3.

$$-3y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} y balioarekin 2x+6y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+6\times \frac{1}{3}=3$$

Egin 6 bider \frac{1}{3}.

$$2x+2=3$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{3}$$