Resolver {l}{2x+y=4}{3x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=4,3x+y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=4$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=2).

$$3\left(-\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

Egin 3 bider -\frac{y}{2}+2.

$$-\frac{3}{2}y+6+y=2$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta y.

$$-\frac{1}{2}y+6=2$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{2}y=-4$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 8+2$$

Egin -\frac{1}{2} bider 8.

$$x=-4+2$$

Gehitu 2 eta -4.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=4,3x+y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+2\\3\times 4-2\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=4,3x+y=2$$

Egin 3x+y=2 ken 2x+y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-3x+y-y=4-2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-3x=4-2$$

Gehitu 2x eta -3x.

$$-x=4-2$$

Gehitu 4 eta -2.

$$-x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-2$$

Ordeztu -2 x balioarekin 3x+y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3\left(-2\right)+y=2$$

Egin 3 bider -2.

$$-6+y=2$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=8$$