Resolver {l}{2x+y=18}{3x+2y=28}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 18 } \\ { 3 x + 2 y = 28 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=8$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=18$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+9$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+9 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=28).

$$3\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=28$$

Egin 3 bider -\frac{y}{2}+9.

$$-\frac{3}{2}y+27+2y=28$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta 2y.

$$\frac{1}{2}y+27=28$$

Egin ken 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}y=1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+9$$

Egin -\frac{1}{2} bider 2.

$$x=-1+9$$

Gehitu 9 eta -1.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 18-28\\-3\times 18+2\times 28\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=8,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3y=3\times 18,2\times 3x+2\times 2y=2\times 28$$

Sinplifikatu.

$$6x+3y=54,6x+4y=56$$

Egin 6x+4y=56 ken 6x+3y=54 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+3y-4y=54-56$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-4y=54-56$$

Gehitu 3y eta -4y.

$$-y=54-56$$

Gehitu 54 eta -56.

$$-y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 3x+2y=28 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times 2=28$$

Egin 2 bider 2.

$$3x+4=28$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=2$$