Resolver {l}{2x+y=11}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=11$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+11.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Ordeztu \frac{-y+11}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-y=9).

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)-y=9$$

Egin 3 bider \frac{-y+11}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{33}{2}-y=9$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta -y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}=9$$

Egin ken \frac{33}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{11}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider 3.

$$x=\frac{-3+11}{2}$$

Gehitu \frac{11}{2} eta -\frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 11+\frac{1}{5}\times 9\\\frac{3}{5}\times 11-\frac{2}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3y=3\times 11,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 9$$

Sinplifikatu.

$$6x+3y=33,6x-2y=18$$

Egin 6x-2y=18 ken 6x+3y=33 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+3y+2y=33-18$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y+2y=33-18$$

Gehitu 3y eta 2y.

$$5y=33-18$$

Gehitu 33 eta -18.

$$5y=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 3x-y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-3=9$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=3$$