Resolver {l}{2x+y=-1}{-x-y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 1 } \\ { - x - y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-6$$

$$y=11$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=-1,-x-y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=-1$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y-1.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{-y-1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x-y=-5).

$$-\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-y=-5$$

Egin -1 bider \frac{-y-1}{2}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-5$$

Gehitu \frac{y}{2} eta -y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=-5$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{11}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=11$$

Ordeztu 11 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 11-\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider 11.

$$x=\frac{-11-1}{2}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta -\frac{11}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-6,y=11$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=-1,-x-y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-5\\-\left(-1\right)-2\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-6,y=11$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=-1,-x-y=-5$$

2x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-y=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=2\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$-2x-y=1,-2x-2y=-10$$

Egin -2x-2y=-10 ken -2x-y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-y+2y=1+10$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y+2y=1+10$$

Gehitu -y eta 2y.

$$y=1+10$$

Gehitu 1 eta 10.

$$y=11$$

Ordeztu 11 y balioarekin -x-y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x-11=-5$$

Gehitu 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-6,y=11$$