Resolver {l}{2x+9y=3}{3x+2y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+9y=3,3x+2y=-7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+9y=3$$

Egin ken 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-9y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+3\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -9y+3.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{-9y+3}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=-7).

$$3\left(-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=-7$$

Egin 3 bider \frac{-9y+3}{2}.

$$-\frac{27}{2}y+\frac{9}{2}+2y=-7$$

Gehitu -\frac{27y}{2} eta 2y.

$$-\frac{23}{2}y+\frac{9}{2}=-7$$

Egin ken \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{23}{2}y=-\frac{23}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{23}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{-9+3}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} eta -\frac{9}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+9y=3,3x+2y=-7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-9\times 3}&-\frac{9}{2\times 2-9\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-9\times 3}&\frac{2}{2\times 2-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&\frac{9}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\times 3+\frac{9}{23}\left(-7\right)\\\frac{3}{23}\times 3-\frac{2}{23}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+9y=3,3x+2y=-7$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 9y=3\times 3,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-7\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x+27y=9,6x+4y=-14$$

Egin 6x+4y=-14 ken 6x+27y=9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+27y-4y=9+14$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$27y-4y=9+14$$

Gehitu 27y eta -4y.

$$23y=9+14$$

Gehitu 9 eta 14.

$$23y=23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 23 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 3x+2y=-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2=-7$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=1$$