Resolver {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+9y=19$$

Egin ken 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-9y+19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -9y+19.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

Ordeztu \frac{-9y+19}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+my=53).

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

Egin 4 bider \frac{-9y+19}{2}.

$$-18y+38+my=53$$

Gehitu -18y eta my.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

Egin ken 38 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(m-18\right)y=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18+m balioarekin.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

Ordeztu \frac{15}{-18+m} y balioarekin x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

Egin -\frac{9}{2} bider \frac{15}{-18+m}.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

Gehitu \frac{19}{2} eta -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

Sinplifikatu.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

Egin 8x+2my=106 ken 8x+36y=76 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Gehitu 36y eta -2my.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

Gehitu 76 eta -106.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 36-2m balioarekin.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

Ordeztu -\frac{15}{18-m} y balioarekin 4x+my=53 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

Egin m bider -\frac{15}{18-m}.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

Gehitu \frac{15m}{18-m} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$