Resolver {l}{2x+8y=64}{7x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 64 } \\ { 7 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+8y=64$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-8y+64$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+64\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -8y+64.

$$x=-4y+32$$

Ordeztu -4y+32 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+y=8).

$$7\left(-4y+32\right)+y=8$$

Egin 7 bider -4y+32.

$$-28y+224+y=8$$

Gehitu -28y eta y.

$$-27y+224=8$$

Egin ken 224 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-27y=-216$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -27 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=-4y+32 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times 8+32$$

Egin -4 bider 8.

$$x=-32+32$$

Gehitu 32 eta -32.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-8\times 7}&-\frac{8}{2-8\times 7}\\-\frac{7}{2-8\times 7}&\frac{2}{2-8\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{4}{27}\\\frac{7}{54}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 64+\frac{4}{27}\times 8\\\frac{7}{54}\times 64-\frac{1}{27}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

2x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 2x+7\times 8y=7\times 64,2\times 7x+2y=2\times 8$$

Sinplifikatu.

$$14x+56y=448,14x+2y=16$$

Egin 14x+2y=16 ken 14x+56y=448 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14x-14x+56y-2y=448-16$$

Gehitu 14x eta -14x. Sinplifikatu egiten dira 14x eta -14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$56y-2y=448-16$$

Gehitu 56y eta -2y.

$$54y=448-16$$

Gehitu 448 eta -16.

$$54y=432$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 54 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin 7x+y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+8=8$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=8$$