Resolver {l}{2x+7y=25}{4x-3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 25 } \\ { 4 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+7y=25,4x-3y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+7y=25$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-7y+25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+25\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -7y+25.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{25}{2}$$

Ordeztu \frac{-7y+25}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-3y=-1).

$$4\left(-\frac{7}{2}y+\frac{25}{2}\right)-3y=-1$$

Egin 4 bider \frac{-7y+25}{2}.

$$-14y+50-3y=-1$$

Gehitu -14y eta -3y.

$$-17y+50=-1$$

Egin ken 50 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-17y=-51$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -17 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{7}{2}y+\frac{25}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{2}\times 3+\frac{25}{2}$$

Egin -\frac{7}{2} bider 3.

$$x=\frac{-21+25}{2}$$

Gehitu \frac{25}{2} eta -\frac{21}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+7y=25,4x-3y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&7\\4&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 4}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-7\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{34}&\frac{7}{34}\\\frac{2}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{34}\times 25+\frac{7}{34}\left(-1\right)\\\frac{2}{17}\times 25-\frac{1}{17}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+7y=25,4x-3y=-1$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\times 7y=4\times 25,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$8x+28y=100,8x-6y=-2$$

Egin 8x-6y=-2 ken 8x+28y=100 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+28y+6y=100+2$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$28y+6y=100+2$$

Gehitu 28y eta 6y.

$$34y=100+2$$

Gehitu 100 eta 2.

$$34y=102$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 34 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 4x-3y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-3\times 3=-1$$

Egin -3 bider 3.

$$4x-9=-1$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$