Resolver {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+5y=259$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-5y+259$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Ordeztu \frac{-5y+259}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (199x-2y=1127).

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Egin 199 bider \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Gehitu -\frac{995y}{2} eta -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Egin ken \frac{51541}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{999}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Ordeztu \frac{16429}{333} y balioarekin x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Egin -\frac{5}{2} bider \frac{16429}{333}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Gehitu \frac{259}{2} eta -\frac{82145}{666} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x eta 199x berdintzeko, biderkatu 199 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Sinplifikatu.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Egin 398x-4y=2254 ken 398x+995y=51541 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Gehitu 398x eta -398x. Sinplifikatu egiten dira 398x eta -398x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$995y+4y=51541-2254$$

Gehitu 995y eta 4y.

$$999y=51541-2254$$

Gehitu 51541 eta -2254.

$$999y=49287$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 999 balioarekin.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Ordeztu \frac{16429}{333} y balioarekin 199x-2y=1127 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Egin -2 bider \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Gehitu \frac{32858}{333} ekuazioaren bi aldeetan.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 199 balioarekin.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$