Resolver {l}{2x+5y=17}{6y=6-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$6y+5x=6$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+5y=17$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-5y+17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

Ordeztu \frac{-5y+17}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+6y=6).

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

Egin 5 bider \frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

Gehitu -\frac{25y}{2} eta 6y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

Egin ken \frac{85}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{73}{13}$$

Ordeztu \frac{73}{13} y balioarekin x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

Egin -\frac{5}{2} bider \frac{73}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

Gehitu \frac{17}{2} eta -\frac{365}{26} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$6y+5x=6$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$6y+5x=6$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

2x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

Sinplifikatu.

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

Egin 10x+12y=12 ken 10x+25y=85 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$25y-12y=85-12$$

Gehitu 25y eta -12y.

$$13y=85-12$$

Gehitu 85 eta -12.

$$13y=73$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=\frac{73}{13}$$

Ordeztu \frac{73}{13} y balioarekin 5x+6y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

Egin 6 bider \frac{73}{13}.

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

Egin ken \frac{438}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-\frac{360}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$