Resolver {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{7}{5}x bi aldeetan.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+5y=-10$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-5y-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -5y-10.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Ordeztu -\frac{5y}{2}-5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{7}{5}x+y=3).

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

Egin \frac{7}{5} bider -\frac{5y}{2}-5.

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

Gehitu -\frac{7y}{2} eta y.

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{2}y=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=-\frac{5}{2}y-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

Egin -\frac{5}{2} bider -4.

$$x=10-5$$

Gehitu -5 eta 10.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{7}{5}x bi aldeetan.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{7}{5}x bi aldeetan.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

2x eta \frac{7x}{5} berdintzeko, biderkatu \frac{7}{5} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

Sinplifikatu.

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

Egin \frac{14}{5}x+2y=6 ken \frac{14}{5}x+7y=-14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

Gehitu \frac{14x}{5} eta -\frac{14x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{14x}{5} eta -\frac{14x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7y-2y=-14-6$$

Gehitu 7y eta -2y.

$$5y=-14-6$$

Gehitu -14 eta -6.

$$5y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin \frac{7}{5}x+y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{5}x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=-4$$