Resolver {l}{2x+4y=8}{3y-2x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 8 } \\ { 3 y - 2 x = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+4y=8$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-4y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+8\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -4y+8.

$$x=-2y+4$$

Ordeztu -2y+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+3y=6).

$$-2\left(-2y+4\right)+3y=6$$

Egin -2 bider -2y+4.

$$4y-8+3y=6$$

Gehitu 4y eta 3y.

$$7y-8=6$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-2y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times 2+4$$

Egin -2 bider 2.

$$x=-4+4$$

Gehitu 4 eta -4.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{2\times 3-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-4\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 8-\frac{2}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 8+\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

2x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 2x-2\times 4y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\times 6$$

Sinplifikatu.

$$-4x-8y=-16,-4x+6y=12$$

Egin -4x+6y=12 ken -4x-8y=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x+4x-8y-6y=-16-12$$

Gehitu -4x eta 4x. Sinplifikatu egiten dira -4x eta 4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y-6y=-16-12$$

Gehitu -8y eta -6y.

$$-14y=-16-12$$

Gehitu -16 eta -12.

$$-14y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin -2x+3y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x+3\times 2=6$$

Egin 3 bider 2.

$$-2x+6=6$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=2$$