Resolver {l}{2x+4y=20}{4x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 20 } \\ { 4 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+4y=20,4x-2y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+4y=20$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-4y+20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+20\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -4y+20.

$$x=-2y+10$$

Ordeztu -2y+10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-2y=10).

$$4\left(-2y+10\right)-2y=10$$

Egin 4 bider -2y+10.

$$-8y+40-2y=10$$

Gehitu -8y eta -2y.

$$-10y+40=10$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10y=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-2y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times 3+10$$

Egin -2 bider 3.

$$x=-6+10$$

Gehitu 10 eta -6.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+4y=20,4x-2y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&4\\4&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{2\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{2}{2\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 20+\frac{1}{5}\times 10\\\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+4y=20,4x-2y=10$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\times 4y=4\times 20,2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 10$$

Sinplifikatu.

$$8x+16y=80,8x-4y=20$$

Egin 8x-4y=20 ken 8x+16y=80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+16y+4y=80-20$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16y+4y=80-20$$

Gehitu 16y eta 4y.

$$20y=80-20$$

Gehitu 80 eta -20.

$$20y=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 4x-2y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-2\times 3=10$$

Egin -2 bider 3.

$$4x-6=10$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=3$$