Resolver {l}{2x+4y=12}{3x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 3 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+4y=12$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-4y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -4y+12.

$$x=-2y+6$$

Ordeztu -2y+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=6).

$$3\left(-2y+6\right)+y=6$$

Egin 3 bider -2y+6.

$$-6y+18+y=6$$

Gehitu -6y eta y.

$$-5y+18=6$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=\frac{12}{5}$$

Ordeztu \frac{12}{5} y balioarekin x=-2y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{12}{5}+6$$

Egin -2 bider \frac{12}{5}.

$$x=-\frac{24}{5}+6$$

Gehitu 6 eta -\frac{24}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 3}&-\frac{4}{2-4\times 3}\\-\frac{3}{2-4\times 3}&\frac{2}{2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 12+\frac{2}{5}\times 6\\\frac{3}{10}\times 12-\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 12,2\times 3x+2y=2\times 6$$

Sinplifikatu.

$$6x+12y=36,6x+2y=12$$

Egin 6x+2y=12 ken 6x+12y=36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+12y-2y=36-12$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-2y=36-12$$

Gehitu 12y eta -2y.

$$10y=36-12$$

Gehitu 36 eta -12.

$$10y=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=\frac{12}{5}$$

Ordeztu \frac{12}{5} y balioarekin 3x+y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+\frac{12}{5}=6$$

Egin ken \frac{12}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{18}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{6}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$