Resolver {l}{2x+4y=-4}{2x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+4y=-4$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-4y-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -4y-4.

$$x=-2y-2$$

Ordeztu -2y-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=8).

$$2\left(-2y-2\right)+y=8$$

Egin 2 bider -2y-2.

$$-4y-4+y=8$$

Gehitu -4y eta y.

$$-3y-4=8$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=-2y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-4\right)-2$$

Egin -2 bider -4.

$$x=8-2$$

Gehitu -2 eta 8.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 2}&-\frac{4}{2-4\times 2}\\-\frac{2}{2-4\times 2}&\frac{2}{2-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Egin 2x+y=8 ken 2x+4y=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+4y-y=-4-8$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-y=-4-8$$

Gehitu 4y eta -y.

$$3y=-4-8$$

Gehitu -4 eta -8.

$$3y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin 2x+y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-4=8$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-4$$