Resolver {l}{2x+3y=8}{x-y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { x - y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{38}{5} = 7\frac{3}{5} = 7.6$$

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=8,x-y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=8$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=10).

$$-\frac{3}{2}y+4-y=10$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta -y.

$$-\frac{5}{2}y+4=10$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{2}y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{12}{5}$$

Ordeztu -\frac{12}{5} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{12}{5}\right)+4$$

Egin -\frac{3}{2} bider -\frac{12}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{18}{5}+4$$

Gehitu 4 eta \frac{18}{5}.

$$x=\frac{38}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{38}{5},y=-\frac{12}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=8,x-y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 10\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{5}\\-\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{38}{5},y=-\frac{12}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=8,x-y=10$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+3y=8,2x+2\left(-1\right)y=2\times 10$$

Sinplifikatu.

$$2x+3y=8,2x-2y=20$$

Egin 2x-2y=20 ken 2x+3y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+3y+2y=8-20$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y+2y=8-20$$

Gehitu 3y eta 2y.

$$5y=8-20$$

Gehitu 8 eta -20.

$$5y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-\frac{12}{5}$$

Ordeztu -\frac{12}{5} y balioarekin x-y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\left(-\frac{12}{5}\right)=10$$

Egin ken \frac{12}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{38}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{38}{5},y=-\frac{12}{5}$$