Resolver {l}{2x+3y=8}{9x+4y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 9 x + 4 y = 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{10}{19}\approx 0.526315789$$

$$y = \frac{44}{19} = 2\frac{6}{19} \approx 2.315789474$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=8$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x+4y=14).

$$9\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+4y=14$$

Egin 9 bider -\frac{3y}{2}+4.

$$-\frac{27}{2}y+36+4y=14$$

Gehitu -\frac{27y}{2} eta 4y.

$$-\frac{19}{2}y+36=14$$

Egin ken 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{19}{2}y=-22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{19}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{44}{19}$$

Ordeztu \frac{44}{19} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{44}{19}+4$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{44}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{66}{19}+4$$

Gehitu 4 eta -\frac{66}{19}.

$$x=\frac{10}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 9}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 9}\\-\frac{9}{2\times 4-3\times 9}&\frac{2}{2\times 4-3\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 14\\\frac{9}{19}\times 8-\frac{2}{19}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{19}\\\frac{44}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

2x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\times 2x+9\times 3y=9\times 8,2\times 9x+2\times 4y=2\times 14$$

Sinplifikatu.

$$18x+27y=72,18x+8y=28$$

Egin 18x+8y=28 ken 18x+27y=72 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x+27y-8y=72-28$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$27y-8y=72-28$$

Gehitu 27y eta -8y.

$$19y=72-28$$

Gehitu 72 eta -28.

$$19y=44$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=\frac{44}{19}$$

Ordeztu \frac{44}{19} y balioarekin 9x+4y=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x+4\times \frac{44}{19}=14$$

Egin 4 bider \frac{44}{19}.

$$9x+\frac{176}{19}=14$$

Egin ken \frac{176}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=\frac{90}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{10}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$