Resolver {l}{2x+3y=7}{6x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 6 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16} = 1.4375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=7$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+7}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+y=10).

$$6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=10$$

Egin 6 bider \frac{-3y+7}{2}.

$$-9y+21+y=10$$

Gehitu -9y eta y.

$$-8y+21=10$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8y=-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=\frac{11}{8}$$

Ordeztu \frac{11}{8} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{7}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{11}{8}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{33}{16}+\frac{7}{2}$$

Gehitu \frac{7}{2} eta -\frac{33}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{23}{16}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 6}&-\frac{3}{2-3\times 6}\\-\frac{6}{2-3\times 6}&\frac{2}{2-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 7+\frac{3}{16}\times 10\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

2x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 7,2\times 6x+2y=2\times 10$$

Sinplifikatu.

$$12x+18y=42,12x+2y=20$$

Egin 12x+2y=20 ken 12x+18y=42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+18y-2y=42-20$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18y-2y=42-20$$

Gehitu 18y eta -2y.

$$16y=42-20$$

Gehitu 42 eta -20.

$$16y=22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$y=\frac{11}{8}$$

Ordeztu \frac{11}{8} y balioarekin 6x+y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+\frac{11}{8}=10$$

Egin ken \frac{11}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=\frac{69}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{23}{16}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$