Resolver {l}{2x+3y=6}{6x+5y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 6 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{3}{8}=-0.375$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=6$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+5y=9).

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+5y=9$$

Egin 6 bider -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18+5y=9$$

Gehitu -9y eta 5y.

$$-4y+18=9$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=\frac{9}{4}$$

Ordeztu \frac{9}{4} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{4}+3$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{9}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{27}{8}+3$$

Gehitu 3 eta -\frac{27}{8}.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 5-3\times 6}&\frac{2}{2\times 5-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 9\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\\\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

2x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\times 5y=2\times 9$$

Sinplifikatu.

$$12x+18y=36,12x+10y=18$$

Egin 12x+10y=18 ken 12x+18y=36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+18y-10y=36-18$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18y-10y=36-18$$

Gehitu 18y eta -10y.

$$8y=36-18$$

Gehitu 36 eta -18.

$$8y=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=\frac{9}{4}$$

Ordeztu \frac{9}{4} y balioarekin 6x+5y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+5\times \frac{9}{4}=9$$

Egin 5 bider \frac{9}{4}.

$$6x+\frac{45}{4}=9$$

Egin ken \frac{45}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-\frac{9}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$