Resolver {l}{2x+3y=57}{3x-5y=81/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 57 } \\ { 3 x - 5 y = 8 \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{621}{38} = 16\frac{13}{38} \approx 16.342105263$$

$$y = \frac{154}{19} = 8\frac{2}{19} \approx 8.105263158$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=57$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+57$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+57\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+57.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+57}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-5y=\frac{17}{2}).

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}\right)-5y=\frac{17}{2}$$

Egin 3 bider \frac{-3y+57}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{171}{2}-5y=\frac{17}{2}$$

Gehitu -\frac{9y}{2} eta -5y.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{171}{2}=\frac{17}{2}$$

Egin ken \frac{171}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{19}{2}y=-77$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{19}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{154}{19}$$

Ordeztu \frac{154}{19} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{154}{19}+\frac{57}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{154}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{231}{19}+\frac{57}{2}$$

Gehitu \frac{57}{2} eta -\frac{231}{19} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{621}{38}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 57+\frac{3}{19}\times \frac{17}{2}\\\frac{3}{19}\times 57-\frac{2}{19}\times \frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{621}{38}\\\frac{154}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 57,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times \frac{17}{2}$$

Sinplifikatu.

$$6x+9y=171,6x-10y=17$$

Egin 6x-10y=17 ken 6x+9y=171 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+9y+10y=171-17$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y+10y=171-17$$

Gehitu 9y eta 10y.

$$19y=171-17$$

Gehitu 171 eta -17.

$$19y=154$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=\frac{154}{19}$$

Ordeztu \frac{154}{19} y balioarekin 3x-5y=\frac{17}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-5\times \frac{154}{19}=\frac{17}{2}$$

Egin -5 bider \frac{154}{19}.

$$3x-\frac{770}{19}=\frac{17}{2}$$

Gehitu \frac{770}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{1863}{38}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{621}{38}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$