Resolver {l}{2x+3y=5}{3x+12y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 12 y = 70 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-10$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=5$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+12y=70).

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+12y=70$$

Egin 3 bider \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+12y=70$$

Gehitu -\frac{9y}{2} eta 12y.

$$\frac{15}{2}y+\frac{15}{2}=70$$

Egin ken \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{15}{2}y=\frac{125}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{15}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{25}{3}$$

Ordeztu \frac{25}{3} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{25}{3}+\frac{5}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{25}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-25+5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta -\frac{25}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{2\times 12-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}&\frac{2}{2\times 12-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{15}\times 70\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 12y=2\times 70$$

Sinplifikatu.

$$6x+9y=15,6x+24y=140$$

Egin 6x+24y=140 ken 6x+9y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+9y-24y=15-140$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-24y=15-140$$

Gehitu 9y eta -24y.

$$-15y=15-140$$

Gehitu 15 eta -140.

$$-15y=-125$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=\frac{25}{3}$$

Ordeztu \frac{25}{3} y balioarekin 3x+12y=70 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+12\times \frac{25}{3}=70$$

Egin 12 bider \frac{25}{3}.

$$3x+100=70$$

Egin ken 100 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$