Resolver {l}{2x+3y=5}{2quadx-y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 2 \quad x - y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=5,2x-y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=5$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=3).

$$2\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-y=3$$

Egin 2 bider \frac{-3y+5}{2}.

$$-3y+5-y=3$$

Gehitu -3y eta -y.

$$-4y+5=3$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{1}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{3}{4}+\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta -\frac{3}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{7}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{4},y=\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=5,2x-y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 3\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{7}{4},y=\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=5,2x-y=3$$

Egin 2x-y=3 ken 2x+3y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+3y+y=5-3$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y+y=5-3$$

Gehitu 3y eta y.

$$4y=5-3$$

Gehitu 5 eta -3.

$$4y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} y balioarekin 2x-y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-\frac{1}{2}=3$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{7}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{7}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{4},y=\frac{1}{2}$$