Resolver {l}{2x+3y=465}{5x-7y=75}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 465 } \\ { 5 x - 7 y = 75 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=120$$

$$y=75$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=465$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+465$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+465\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+465.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+465}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-7y=75).

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2}\right)-7y=75$$

Egin 5 bider \frac{-3y+465}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{2325}{2}-7y=75$$

Gehitu -\frac{15y}{2} eta -7y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{2325}{2}=75$$

Egin ken \frac{2325}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{2175}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{29}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=75$$

Ordeztu 75 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 75+\frac{465}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider 75.

$$x=\frac{-225+465}{2}$$

Gehitu \frac{465}{2} eta -\frac{225}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=120$$

Ebatzi da sistema.

$$x=120,y=75$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-3\times 5}&-\frac{3}{2\left(-7\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-7\right)-3\times 5}&\frac{2}{2\left(-7\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{5}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 465+\frac{3}{29}\times 75\\\frac{5}{29}\times 465-\frac{2}{29}\times 75\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\75\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=120,y=75$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

2x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 465,2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\times 75$$

Sinplifikatu.

$$10x+15y=2325,10x-14y=150$$

Egin 10x-14y=150 ken 10x+15y=2325 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+15y+14y=2325-150$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$15y+14y=2325-150$$

Gehitu 15y eta 14y.

$$29y=2325-150$$

Gehitu 2325 eta -150.

$$29y=2175$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 29 balioarekin.

$$y=75$$

Ordeztu 75 y balioarekin 5x-7y=75 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-7\times 75=75$$

Egin -7 bider 75.

$$5x-525=75$$

Gehitu 525 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=600$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=120$$

Ebatzi da sistema.

$$x=120,y=75$$