Resolver {l}{2x+3y=30}{6x+8y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 30 } \\ { 6 x + 8 y = 42 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-57$$

$$y=48$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=30$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+30\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+30.

$$x=-\frac{3}{2}y+15$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+15 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+8y=42).

$$6\left(-\frac{3}{2}y+15\right)+8y=42$$

Egin 6 bider -\frac{3y}{2}+15.

$$-9y+90+8y=42$$

Gehitu -9y eta 8y.

$$-y+90=42$$

Egin ken 90 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=48$$

Ordeztu 48 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 48+15$$

Egin -\frac{3}{2} bider 48.

$$x=-72+15$$

Gehitu 15 eta -72.

$$x=-57$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-57,y=48$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 8-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 8-3\times 6}&\frac{2}{2\times 8-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{3}{2}\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 30+\frac{3}{2}\times 42\\3\times 30-42\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-57\\48\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-57,y=48$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

2x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 30,2\times 6x+2\times 8y=2\times 42$$

Sinplifikatu.

$$12x+18y=180,12x+16y=84$$

Egin 12x+16y=84 ken 12x+18y=180 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+18y-16y=180-84$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18y-16y=180-84$$

Gehitu 18y eta -16y.

$$2y=180-84$$

Gehitu 180 eta -84.

$$2y=96$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=48$$

Ordeztu 48 y balioarekin 6x+8y=42 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+8\times 48=42$$

Egin 8 bider 48.

$$6x+384=42$$

Egin ken 384 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-342$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-57$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-57,y=48$$