Resolver {l}{2x+3y=20}{7x+2y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 20 } \\ { 7 x + 2 y = 53 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=20$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+20\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+20.

$$x=-\frac{3}{2}y+10$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+2y=53).

$$7\left(-\frac{3}{2}y+10\right)+2y=53$$

Egin 7 bider -\frac{3y}{2}+10.

$$-\frac{21}{2}y+70+2y=53$$

Gehitu -\frac{21y}{2} eta 2y.

$$-\frac{17}{2}y+70=53$$

Egin ken 70 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+10$$

Egin -\frac{3}{2} bider 2.

$$x=-3+10$$

Gehitu 10 eta -3.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 20+\frac{3}{17}\times 53\\\frac{7}{17}\times 20-\frac{2}{17}\times 53\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

2x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 20,2\times 7x+2\times 2y=2\times 53$$

Sinplifikatu.

$$14x+21y=140,14x+4y=106$$

Egin 14x+4y=106 ken 14x+21y=140 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14x-14x+21y-4y=140-106$$

Gehitu 14x eta -14x. Sinplifikatu egiten dira 14x eta -14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$21y-4y=140-106$$

Gehitu 21y eta -4y.

$$17y=140-106$$

Gehitu 140 eta -106.

$$17y=34$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 7x+2y=53 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+2\times 2=53$$

Egin 2 bider 2.

$$7x+4=53$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=49$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=2$$