Resolver {l}{2x+3y=2}{5y+2x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 5 y + 2 x = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=2$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+5y=1).

$$2\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+5y=1$$

Egin 2 bider -\frac{3y}{2}+1.

$$-3y+2+5y=1$$

Gehitu -3y eta 5y.

$$2y+2=1$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$

Egin -\frac{3}{2} bider -\frac{1}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{4}+1$$

Gehitu 1 eta \frac{3}{4}.

$$x=\frac{7}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 2-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Egin 2x+5y=1 ken 2x+3y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+3y-5y=2-1$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-5y=2-1$$

Gehitu 3y eta -5y.

$$-2y=2-1$$

Gehitu 2 eta -1.

$$-2y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} y balioarekin 2x+5y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+5\left(-\frac{1}{2}\right)=1$$

Egin 5 bider -\frac{1}{2}.

$$2x-\frac{5}{2}=1$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{7}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{7}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$