Resolver {l}{2x+3y=2}{4x+16y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x + 16 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} = 1.15$$

$$y=-\frac{1}{10}=-0.1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=2$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+16y=3).

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+16y=3$$

Egin 4 bider -\frac{3y}{2}+1.

$$-6y+4+16y=3$$

Gehitu -6y eta 16y.

$$10y+4=3$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{10}$$

Ordeztu -\frac{1}{10} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{10}\right)+1$$

Egin -\frac{3}{2} bider -\frac{1}{10}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{20}+1$$

Gehitu 1 eta \frac{3}{20}.

$$x=\frac{23}{20}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{2\times 16-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 16-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 16-3\times 4}&\frac{2}{2\times 16-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 2-\frac{3}{20}\times 3\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{20}\\-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\times 16y=2\times 3$$

Sinplifikatu.

$$8x+12y=8,8x+32y=6$$

Egin 8x+32y=6 ken 8x+12y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+12y-32y=8-6$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-32y=8-6$$

Gehitu 12y eta -32y.

$$-20y=8-6$$

Gehitu 8 eta -6.

$$-20y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{10}$$

Ordeztu -\frac{1}{10} y balioarekin 4x+16y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+16\left(-\frac{1}{10}\right)=3$$

Egin 16 bider -\frac{1}{10}.

$$4x-\frac{8}{5}=3$$

Gehitu \frac{8}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{23}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{23}{20}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$