Resolver {l}{2x+3y=19}{4x+11y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 19 } \\ { 4 x + 11 y = 53 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=19$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+19\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+19.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+19}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+11y=53).

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}\right)+11y=53$$

Egin 4 bider \frac{-3y+19}{2}.

$$-6y+38+11y=53$$

Gehitu -6y eta 11y.

$$5y+38=53$$

Egin ken 38 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{19}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider 3.

$$x=\frac{-9+19}{2}$$

Gehitu \frac{19}{2} eta -\frac{9}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2\times 11-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 11-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 11-3\times 4}&\frac{2}{2\times 11-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}&-\frac{3}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}\times 19-\frac{3}{10}\times 53\\-\frac{2}{5}\times 19+\frac{1}{5}\times 53\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 19,2\times 4x+2\times 11y=2\times 53$$

Sinplifikatu.

$$8x+12y=76,8x+22y=106$$

Egin 8x+22y=106 ken 8x+12y=76 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+12y-22y=76-106$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-22y=76-106$$

Gehitu 12y eta -22y.

$$-10y=76-106$$

Gehitu 76 eta -106.

$$-10y=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 4x+11y=53 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+11\times 3=53$$

Egin 11 bider 3.

$$4x+33=53$$

Egin ken 33 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=3$$