Resolver {l}{2x+3y=12}{4x+y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 12 } \\ { 4 x + y = 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=12$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+12\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+12.

$$x=-\frac{3}{2}y+6$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+y=14).

$$4\left(-\frac{3}{2}y+6\right)+y=14$$

Egin 4 bider -\frac{3y}{2}+6.

$$-6y+24+y=14$$

Gehitu -6y eta y.

$$-5y+24=14$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+6$$

Egin -\frac{3}{2} bider 2.

$$x=-3+6$$

Gehitu 6 eta -3.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 12+\frac{3}{10}\times 14\\\frac{2}{5}\times 12-\frac{1}{5}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 12,2\times 4x+2y=2\times 14$$

Sinplifikatu.

$$8x+12y=48,8x+2y=28$$

Egin 8x+2y=28 ken 8x+12y=48 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+12y-2y=48-28$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-2y=48-28$$

Gehitu 12y eta -2y.

$$10y=48-28$$

Gehitu 48 eta -28.

$$10y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 4x+y=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+2=14$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$