Resolver {l}{2x+3y=100}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 100 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=26$$

$$y=16$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=100$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+100\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+100.

$$x=-\frac{3}{2}y+50$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+50 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=42).

$$-\frac{3}{2}y+50+y=42$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta y.

$$-\frac{1}{2}y+50=42$$

Egin ken 50 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{2}y=-8$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=16$$

Ordeztu 16 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+50 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 16+50$$

Egin -\frac{3}{2} bider 16.

$$x=-24+50$$

Gehitu 50 eta -24.

$$x=26$$

Ebatzi da sistema.

$$x=26,y=16$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{3}{2-3}\\-\frac{1}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100+3\times 42\\100-2\times 42\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\16\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=26,y=16$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+3y=100,2x+2y=2\times 42$$

Sinplifikatu.

$$2x+3y=100,2x+2y=84$$

Egin 2x+2y=84 ken 2x+3y=100 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+3y-2y=100-84$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-2y=100-84$$

Gehitu 3y eta -2y.

$$y=100-84$$

Gehitu 100 eta -84.

$$y=16$$

Ordeztu 16 y balioarekin x+y=42 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+16=42$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=26$$

Ebatzi da sistema.

$$x=26,y=16$$