Resolver {l}{2x+3y=1}{3x-y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

$$y=-\frac{9}{11}\approx -0.818181818$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=1,3x-y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=1$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+1.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-y=6).

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)-y=6$$

Egin 3 bider \frac{-3y+1}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}-y=6$$

Gehitu -\frac{9y}{2} eta -y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=6$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{9}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{11}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{9}{11}$$

Ordeztu -\frac{9}{11} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{9}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider -\frac{9}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{27}{22}+\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{27}{22} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{19}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19}{11},y=-\frac{9}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=1,3x-y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}+\frac{3}{11}\times 6\\\frac{3}{11}-\frac{2}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{11}\\-\frac{9}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{19}{11},y=-\frac{9}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=1,3x-y=6$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 3y=3,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6$$

Sinplifikatu.

$$6x+9y=3,6x-2y=12$$

Egin 6x-2y=12 ken 6x+9y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+9y+2y=3-12$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y+2y=3-12$$

Gehitu 9y eta 2y.

$$11y=3-12$$

Gehitu 3 eta -12.

$$11y=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=-\frac{9}{11}$$

Ordeztu -\frac{9}{11} y balioarekin 3x-y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-\left(-\frac{9}{11}\right)=6$$

Egin ken \frac{9}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{57}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{19}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19}{11},y=-\frac{9}{11}$$