Resolver {l}{2x+3y+5=0}{3x-2y-12=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y + 5 = 0 } \\ { 3 x - 2 y - 12 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x+3y=-5$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y-5.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y-5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y-12=0).

$$3\left(-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-2y-12=0$$

Egin 3 bider \frac{-3y-5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{15}{2}-2y-12=0$$

Gehitu -\frac{9y}{2} eta -2y.

$$-\frac{13}{2}y-\frac{15}{2}-12=0$$

Gehitu -\frac{15}{2} eta -12.

$$-\frac{13}{2}y-\frac{39}{2}=0$$

Gehitu \frac{39}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{2}y=\frac{39}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{5}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider -3.

$$x=\frac{9-5}{2}$$

Gehitu -\frac{5}{2} eta \frac{9}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-5\right)+\frac{3}{13}\times 12\\\frac{3}{13}\left(-5\right)-\frac{2}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 3y+3\times 5=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\left(-12\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$6x+9y+15=0,6x-4y-24=0$$

Egin 6x-4y-24=0 ken 6x+9y+15=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+9y+4y+15+24=0$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y+4y+15+24=0$$

Gehitu 9y eta 4y.

$$13y+15+24=0$$

Gehitu 15 eta 24.

$$13y+39=0$$

Egin ken 39 ekuazioaren bi aldeetan.

$$13y=-39$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin 3x-2y-12=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\left(-3\right)-12=0$$

Egin -2 bider -3.

$$3x+6-12=0$$

Gehitu 6 eta -12.

$$3x-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-3$$