Resolver {l}{2x+2y=10}{2x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+2y=10,2x+y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+2y=10$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-2y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -2y+10.

$$x=-y+5$$

Ordeztu -y+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=5).

$$2\left(-y+5\right)+y=5$$

Egin 2 bider -y+5.

$$-2y+10+y=5$$

Gehitu -2y eta y.

$$-y+10=5$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5+5$$

Gehitu 5 eta -5.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+2y=10,2x+y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-2\times 2}&-\frac{2}{2-2\times 2}\\-\frac{2}{2-2\times 2}&\frac{2}{2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 10+5\\10-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+2y=10,2x+y=5$$

Egin 2x+y=5 ken 2x+2y=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+2y-y=10-5$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-y=10-5$$

Gehitu 2y eta -y.

$$y=10-5$$

Gehitu 10 eta -5.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 2x+y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+5=5$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=5$$