Resolver {l}{2x+2y=0}{3x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 0 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+2y=0$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-2y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)y$$

Egin \frac{1}{2} bider -2y.

$$x=-y$$

Ordeztu -y balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-y=2).

$$3\left(-1\right)y-y=2$$

Egin 3 bider -y.

$$-3y-y=2$$

Gehitu -3y eta -y.

$$-4y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} y balioarekin x=-y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Egin -1 bider -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 2y=0,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Sinplifikatu.

$$6x+6y=0,6x-2y=4$$

Egin 6x-2y=4 ken 6x+6y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+6y+2y=-4$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+2y=-4$$

Gehitu 6y eta 2y.

$$8y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} y balioarekin 3x-y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{3}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$