Resolver {l}{2x+16y=22}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+16y=22$$

Egin ken 16y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-16y+22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -16y+22.

$$x=-8y+11$$

Ordeztu -8y+11 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+8y=20).

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

Egin 4 bider -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

Gehitu -32y eta 8y.

$$-24y+44=20$$

Egin ken 44 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-24y=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-8y+11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-8+11$$

Gehitu 11 eta -8.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

Sinplifikatu.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

Egin 8x+16y=40 ken 8x+64y=88 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$64y-16y=88-40$$

Gehitu 64y eta -16y.

$$48y=88-40$$

Gehitu 88 eta -40.

$$48y=48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 48 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 4x+8y=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+8=20$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$