Resolver {l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: w, n

$$w=1050$$

$$n=2950$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi w. Horretarako, isolatu w berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2w+n=5050$$

Egin ken n ekuazioaren bi aldeetan.

$$2w=-n+5050$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -n+5050.

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

Ordeztu -\frac{n}{2}+2525 balioa w balioarekin beste ekuazioan (3w+2n=9050).

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

Egin 3 bider -\frac{n}{2}+2525.

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

Gehitu -\frac{3n}{2} eta 2n.

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

Egin ken 7575 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}n=1475$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$n=2950$$

Ordeztu 2950 n balioarekin w=-\frac{1}{2}n+2525 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, w ebatz dezakezu zuzenean.

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

Egin -\frac{1}{2} bider 2950.

$$w=-1475+2525$$

Gehitu 2525 eta -1475.

$$w=1050$$

Ebatzi da sistema.

$$w=1050,n=2950$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

Atera w eta n matrize-elementuak.

$$w=1050,n=2950$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

2w eta 3w berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

Sinplifikatu.

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

Egin 6w+4n=18100 ken 6w+3n=15150 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

Gehitu 6w eta -6w. Sinplifikatu egiten dira 6w eta -6w. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3n-4n=15150-18100$$

Gehitu 3n eta -4n.

$$-n=15150-18100$$

Gehitu 15150 eta -18100.

$$-n=-2950$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$n=2950$$

Ordeztu 2950 n balioarekin 3w+2n=9050 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, w ebatz dezakezu zuzenean.

$$3w+2\times 2950=9050$$

Egin 2 bider 2950.

$$3w+5900=9050$$

Egin ken 5900 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3w=3150$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$w=1050$$

Ebatzi da sistema.

$$w=1050,n=2950$$