Resolver {l}{2n-3m=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: n, m

$$n=2$$

$$m=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi n. Horretarako, isolatu n berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2n-3m=1$$

Gehitu 3m ekuazioaren bi aldeetan.

$$2n=3m+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3m+1.

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{3m+1}{2} balioa n balioarekin beste ekuazioan (n+m=3).

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

Gehitu \frac{3m}{2} eta m.

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$m=1$$

Ordeztu 1 m balioarekin n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, n ebatz dezakezu zuzenean.

$$n=\frac{3+1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$n=2$$

Ebatzi da sistema.

$$n=2,m=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Atera n eta m matrize-elementuak.

$$n=2,m=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

2n eta n berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

Sinplifikatu.

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

Egin 2n+2m=6 ken 2n-3m=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

Gehitu 2n eta -2n. Sinplifikatu egiten dira 2n eta -2n. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3m-2m=1-6$$

Gehitu -3m eta -2m.

$$-5m=1-6$$

Gehitu 1 eta -6.

$$-5m=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$m=1$$

Ordeztu 1 m balioarekin n+m=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, n ebatz dezakezu zuzenean.

$$n+1=3$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=2$$

Ebatzi da sistema.

$$n=2,m=1$$