Resolver {l}{2m-3n=-1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = - 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$n = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2m-3n=-1$$

Gehitu 3n ekuazioaren bi aldeetan.

$$2m=3n-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n-1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3n-1.

$$m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{3n-1}{2} balioa m balioarekin beste ekuazioan (m+n=3).

$$\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}+n=3$$

Gehitu \frac{3n}{2} eta n.

$$\frac{5}{2}n-\frac{1}{2}=3$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{2}n=\frac{7}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=\frac{7}{5}$$

Ordeztu \frac{7}{5} n balioarekin m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}-\frac{1}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{7}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=\frac{21}{10}-\frac{1}{2}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{21}{10} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=\frac{8}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

2m eta m berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2m-3n=-1,2m+2n=2\times 3$$

Sinplifikatu.

$$2m-3n=-1,2m+2n=6$$

Egin 2m+2n=6 ken 2m-3n=-1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2m-2m-3n-2n=-1-6$$

Gehitu 2m eta -2m. Sinplifikatu egiten dira 2m eta -2m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3n-2n=-1-6$$

Gehitu -3n eta -2n.

$$-5n=-1-6$$

Gehitu -1 eta -6.

$$-5n=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$n=\frac{7}{5}$$

Ordeztu \frac{7}{5} n balioarekin m+n=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m+\frac{7}{5}=3$$

Egin ken \frac{7}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$m=\frac{8}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$