Resolver {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2m+3n=22$$

Egin ken 3n ekuazioaren bi aldeetan.

$$2m=-3n+22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3n+22.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

Ordeztu -\frac{3n}{2}+11 balioa m balioarekin beste ekuazioan (m-2n=6).

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

Gehitu -\frac{3n}{2} eta -2n.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

Egin ken 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=\frac{10}{7}$$

Ordeztu \frac{10}{7} n balioarekin m=-\frac{3}{2}n+11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{10}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

Gehitu 11 eta -\frac{15}{7}.

$$m=\frac{62}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

2m eta m berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

Sinplifikatu.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

Egin 2m-4n=12 ken 2m+3n=22 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

Gehitu 2m eta -2m. Sinplifikatu egiten dira 2m eta -2m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3n+4n=22-12$$

Gehitu 3n eta 4n.

$$7n=22-12$$

Gehitu 22 eta -12.

$$7n=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$n=\frac{10}{7}$$

Ordeztu \frac{10}{7} n balioarekin m-2n=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

Egin -2 bider \frac{10}{7}.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

Gehitu \frac{20}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$m=\frac{62}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$