Resolver {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2bx+ay=2ab$$

Egin ken ay ekuazioaren bi aldeetan.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2b balioarekin.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Egin \frac{1}{2b} bider a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Ordeztu a-\frac{ay}{2b} balioa x balioarekin beste ekuazioan (bx+\left(-a\right)y=4ab).

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Egin b bider a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Gehitu -\frac{ay}{2} eta -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Egin ken ba ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3a}{2} balioarekin.

$$y=-2b$$

Ordeztu -2b y balioarekin x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Egin -\frac{a}{2b} bider -2b.

$$x=a+a$$

Gehitu a eta a.

$$x=2a$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2a,y=-2b$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2a,y=-2b$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx eta bx berdintzeko, biderkatu b balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2b balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Sinplifikatu.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Egin 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} ken 2b^{2}x+aby=2ab^{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Gehitu 2b^{2}x eta -2b^{2}x. Sinplifikatu egiten dira 2b^{2}x eta -2b^{2}x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Gehitu bay eta 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Gehitu 2ab^{2} eta -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3ba balioarekin.

$$y=-2b$$

Ordeztu -2b y balioarekin bx+\left(-a\right)y=4ab ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Egin -a bider -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

Egin ken 2ba ekuazioaren bi aldeetan.

$$bx=2ab$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak b balioarekin.

$$x=2a$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2a,y=-2b$$

Ebatzi: x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2bx+ay=2ab$$

Egin ken ay ekuazioaren bi aldeetan.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2b balioarekin.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Egin \frac{1}{2b} bider a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Ordeztu a-\frac{ay}{2b} balioa x balioarekin beste ekuazioan (bx+\left(-a\right)y=4ab).

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Egin b bider a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Gehitu -\frac{ay}{2} eta -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Egin ken ba ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3a}{2} balioarekin.

$$y=-2b$$

Ordeztu -2b y balioarekin x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Egin -\frac{a}{2b} bider -2b.

$$x=a+a$$

Gehitu a eta a.

$$x=2a$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2a,y=-2b$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2a,y=-2b$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx eta bx berdintzeko, biderkatu b balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2b balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Sinplifikatu.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Egin 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} ken 2b^{2}x+aby=2ab^{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Gehitu 2b^{2}x eta -2b^{2}x. Sinplifikatu egiten dira 2b^{2}x eta -2b^{2}x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Gehitu bay eta 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Gehitu 2ab^{2} eta -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3ba balioarekin.

$$y=-2b$$

Ordeztu -2b y balioarekin bx+\left(-a\right)y=4ab ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Egin -a bider -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

Egin ken 2ba ekuazioaren bi aldeetan.

$$bx=2ab$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak b balioarekin.

$$x=2a$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2a,y=-2b$$