Resolver {l}{2a+b=5}{a+2b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=3$$

$$b=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2a+b=5$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=-b+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -b+5.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{-b+5}{2} balioa a balioarekin beste ekuazioan (a+2b=1).

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+2b=1$$

Gehitu -\frac{b}{2} eta 2b.

$$\frac{3}{2}b+\frac{5}{2}=1$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{2}b=-\frac{3}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=-1$$

Ordeztu -1 b balioarekin a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider -1.

$$a=\frac{1+5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{1}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=3$$

Ebatzi da sistema.

$$a=3,b=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=3,b=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

2a eta a berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2a+b=5,2a+2\times 2b=2$$

Sinplifikatu.

$$2a+b=5,2a+4b=2$$

Egin 2a+4b=2 ken 2a+b=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2a-2a+b-4b=5-2$$

Gehitu 2a eta -2a. Sinplifikatu egiten dira 2a eta -2a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$b-4b=5-2$$

Gehitu b eta -4b.

$$-3b=5-2$$

Gehitu 5 eta -2.

$$-3b=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$b=-1$$

Ordeztu -1 b balioarekin a+2b=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a+2\left(-1\right)=1$$

Egin 2 bider -1.

$$a-2=1$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=3$$

Ebatzi da sistema.

$$a=3,b=-1$$