Resolver {l}{2a+7b=14}{12(2a+12b)/2=129}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 7 b = 14 } \\ { \frac { 12 ( 2 a + 12 b ) } { 2 } = 129 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$12\left(2a+12b\right)=129\times 2$$

Erabili banaketa-propietatea 12 eta 2a+12b biderkatzeko.

$$24a+144b=129\times 2$$

258 lortzeko, biderkatu 129 eta 2.

$$24a+144b=258$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2a+7b=14,24a+144b=258$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2a+7b=14$$

Egin ken 7b ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=-7b+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=\frac{1}{2}\left(-7b+14\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -7b+14.

$$a=-\frac{7}{2}b+7$$

Ordeztu -\frac{7b}{2}+7 balioa a balioarekin beste ekuazioan (24a+144b=258).

$$24\left(-\frac{7}{2}b+7\right)+144b=258$$

Egin 24 bider -\frac{7b}{2}+7.

$$-84b+168+144b=258$$

Gehitu -84b eta 144b.

$$60b+168=258$$

Egin ken 168 ekuazioaren bi aldeetan.

$$60b=90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 60 balioarekin.

$$b=\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{3}{2} b balioarekin a=-\frac{7}{2}b+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{7}{2}\times \frac{3}{2}+7$$

Egin -\frac{7}{2} bider \frac{3}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=-\frac{21}{4}+7$$

Gehitu 7 eta -\frac{21}{4}.

$$a=\frac{7}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{7}{4},b=\frac{3}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$12\left(2a+12b\right)=129\times 2$$

Erabili banaketa-propietatea 12 eta 2a+12b biderkatzeko.

$$24a+144b=129\times 2$$

258 lortzeko, biderkatu 129 eta 2.

$$24a+144b=258$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2a+7b=14,24a+144b=258$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\24&144\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\258\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&7\\24&144\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\24&144\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\24&144\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\24&144\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\258\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\24&144\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\258\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\24&144\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\258\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{144}{2\times 144-7\times 24}&-\frac{7}{2\times 144-7\times 24}\\-\frac{24}{2\times 144-7\times 24}&\frac{2}{2\times 144-7\times 24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\258\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-\frac{7}{120}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\258\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 14-\frac{7}{120}\times 258\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{60}\times 258\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{7}{4},b=\frac{3}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$12\left(2a+12b\right)=129\times 2$$

Erabili banaketa-propietatea 12 eta 2a+12b biderkatzeko.

$$24a+144b=129\times 2$$

258 lortzeko, biderkatu 129 eta 2.

$$24a+144b=258$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2a+7b=14,24a+144b=258$$

2a eta 24a berdintzeko, biderkatu 24 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$24\times 2a+24\times 7b=24\times 14,2\times 24a+2\times 144b=2\times 258$$

Sinplifikatu.

$$48a+168b=336,48a+288b=516$$

Egin 48a+288b=516 ken 48a+168b=336 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$48a-48a+168b-288b=336-516$$

Gehitu 48a eta -48a. Sinplifikatu egiten dira 48a eta -48a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$168b-288b=336-516$$

Gehitu 168b eta -288b.

$$-120b=336-516$$

Gehitu 336 eta -516.

$$-120b=-180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -120 balioarekin.

$$b=\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{3}{2} b balioarekin 24a+144b=258 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$24a+144\times \frac{3}{2}=258$$

Egin 144 bider \frac{3}{2}.

$$24a+216=258$$

Egin ken 216 ekuazioaren bi aldeetan.

$$24a=42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin.

$$a=\frac{7}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{7}{4},b=\frac{3}{2}$$