Resolver {l}{2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=-12$$

$$b=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2a+3b=0$$

Egin ken 3b ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=-3b$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

Egin \frac{1}{2} bider -3b.

$$a=-\frac{3}{2}b$$

Ordeztu -\frac{3b}{2} balioa a balioarekin beste ekuazioan (2a+5b=16).

$$2\left(-\frac{3}{2}\right)b+5b=16$$

Egin 2 bider -\frac{3b}{2}.

$$-3b+5b=16$$

Gehitu -3b eta 5b.

$$2b=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$b=8$$

Ordeztu 8 b balioarekin a=-\frac{3}{2}b ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{3}{2}\times 8$$

Egin -\frac{3}{2} bider 8.

$$a=-12$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-12,b=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\8\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=-12,b=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

Egin 2a+5b=16 ken 2a+3b=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2a-2a+3b-5b=-16$$

Gehitu 2a eta -2a. Sinplifikatu egiten dira 2a eta -2a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3b-5b=-16$$

Gehitu 3b eta -5b.

$$-2b=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$b=8$$

Ordeztu 8 b balioarekin 2a+5b=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$2a+5\times 8=16$$

Egin 5 bider 8.

$$2a+40=16$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=-12$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-12,b=8$$