Resolver {l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Adierazi \frac{\frac{1}{2}}{2} frakzio bakar gisa.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin; hots, \frac{1}{2} zenbakiaren elkarrekikoarekin.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

3 lortzeko, biderkatu \frac{3}{2} eta 2.

$$2x+8y=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -y+\frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

Ordeztu -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+8y=3).

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

Egin 2 bider -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta 8y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

Egin ken \frac{1}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{22}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{17}{44}$$

Ordeztu \frac{17}{44} y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

Egin -\frac{1}{3} bider \frac{17}{44}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

Gehitu \frac{1}{12} eta -\frac{17}{132} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Adierazi \frac{\frac{1}{2}}{2} frakzio bakar gisa.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin; hots, \frac{1}{2} zenbakiaren elkarrekikoarekin.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

3 lortzeko, biderkatu \frac{3}{2} eta 2.

$$2x+8y=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Adierazi \frac{\frac{1}{2}}{2} frakzio bakar gisa.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin; hots, \frac{1}{2} zenbakiaren elkarrekikoarekin.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

3 lortzeko, biderkatu \frac{3}{2} eta 2.

$$2x+8y=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

Sinplifikatu.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

Egin 6x+24y=9 ken 6x+2y=\frac{1}{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Gehitu 2y eta -24y.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

Gehitu \frac{1}{2} eta -9.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -22 balioarekin.

$$y=\frac{17}{44}$$

Ordeztu \frac{17}{44} y balioarekin 2x+8y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

Egin 8 bider \frac{17}{44}.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

Egin ken \frac{34}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$