Resolver {l}{2(2x)=6y}{4x+2(6y)=360}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 2 x ) = 6 y } \\ { 4 x + 2 ( 6 y ) = 360 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=30$$

$$y=20$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$4x=6y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\times 6y$$

Egin \frac{1}{4} bider 6y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

Ordeztu \frac{3y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+12y=360).

$$4\times \frac{3}{2}y+12y=360$$

Egin 4 bider \frac{3y}{2}.

$$6y+12y=360$$

Gehitu 6y eta 12y.

$$18y=360$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin x=\frac{3}{2}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times 20$$

Egin \frac{3}{2} bider 20.

$$x=30$$

Ebatzi da sistema.

$$x=30,y=20$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$4x=6y$$

Kendu 6y bi aldeetatik.

$$4x-6y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 12 lortzeko, biderkatu 2 eta 6.

$$4x+12y=360$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 360\\\frac{1}{18}\times 360\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\20\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=30,y=20$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$4x=6y$$

Kendu 6y bi aldeetatik.

$$4x-6y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 12 lortzeko, biderkatu 2 eta 6.

$$4x+12y=360$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

Egin 4x+12y=360 ken 4x-6y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x-6y-12y=-360$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y-12y=-360$$

Gehitu -6y eta -12y.

$$-18y=-360$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin 4x+12y=360 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+12\times 20=360$$

Egin 12 bider 20.

$$4x+240=360$$

Egin ken 240 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=30$$

Ebatzi da sistema.

$$x=30,y=20$$