Resolver {l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$1200x+1600y=18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$600x+2400y=17$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$1200x+1600y=18$$

Egin ken 1600y ekuazioaren bi aldeetan.

$$1200x=-1600y+18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1200 balioarekin.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

Egin \frac{1}{1200} bider -1600y+18.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

Ordeztu -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} balioa x balioarekin beste ekuazioan (600x+2400y=17).

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

Egin 600 bider -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200}.

$$-800y+9+2400y=17$$

Gehitu -800y eta 2400y.

$$1600y+9=17$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$1600y=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1600 balioarekin.

$$y=\frac{1}{200}$$

Ordeztu \frac{1}{200} y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

Egin -\frac{4}{3} bider \frac{1}{200}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

Gehitu \frac{3}{200} eta -\frac{1}{150} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{120}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$1200x+1600y=18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$600x+2400y=17$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$1200x+1600y=18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$600x+2400y=17$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

1200x eta 600x berdintzeko, biderkatu 600 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1200 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

Sinplifikatu.

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

Egin 720000x+2880000y=20400 ken 720000x+960000y=10800 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

Gehitu 720000x eta -720000x. Sinplifikatu egiten dira 720000x eta -720000x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

Gehitu 960000y eta -2880000y.

$$-1920000y=10800-20400$$

Gehitu 10800 eta -20400.

$$-1920000y=-9600$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1920000 balioarekin.

$$y=\frac{1}{200}$$

Ordeztu \frac{1}{200} y balioarekin 600x+2400y=17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

Egin 2400 bider \frac{1}{200}.

$$600x+12=17$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$600x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 600 balioarekin.

$$x=\frac{1}{120}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$