Resolver {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$16x-10y=10$$

Gehitu 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$16x=10y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

Egin \frac{1}{16} bider 10+10y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

Ordeztu \frac{5+5y}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-8x-6y=6).

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

Egin -8 bider \frac{5+5y}{8}.

$$-5y-5-6y=6$$

Gehitu -5y eta -6y.

$$-11y-5=6$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-11y=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

Egin \frac{5}{8} bider -1.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

Gehitu \frac{5}{8} eta -\frac{5}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

16x eta -8x berdintzeko, biderkatu -8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 16 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

Sinplifikatu.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

Egin -128x-96y=96 ken -128x+80y=-80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

Gehitu -128x eta 128x. Sinplifikatu egiten dira -128x eta 128x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$80y+96y=-80-96$$

Gehitu 80y eta 96y.

$$176y=-80-96$$

Gehitu -80 eta -96.

$$176y=-176$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 176 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin -8x-6y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

Egin -6 bider -1.

$$-8x+6=6$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-1$$