Resolver {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$15x+107y=1$$

Egin ken 107y ekuazioaren bi aldeetan.

$$15x=-107y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

Egin \frac{1}{15} bider -107y+1.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

Ordeztu \frac{-107y+1}{15} balioa x balioarekin beste ekuazioan (71x+179y=-287).

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

Egin 71 bider \frac{-107y+1}{15}.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

Gehitu -\frac{7597y}{15} eta 179y.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

Egin ken \frac{71}{15} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{4912}{15} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{547}{614}$$

Ordeztu \frac{547}{614} y balioarekin x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

Egin -\frac{107}{15} bider \frac{547}{614}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

Gehitu \frac{1}{15} eta -\frac{58529}{9210} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

15x eta 71x berdintzeko, biderkatu 71 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 15 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

Sinplifikatu.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

Egin 1065x+2685y=-4305 ken 1065x+7597y=71 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

Gehitu 1065x eta -1065x. Sinplifikatu egiten dira 1065x eta -1065x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7597y-2685y=71+4305$$

Gehitu 7597y eta -2685y.

$$4912y=71+4305$$

Gehitu 71 eta 4305.

$$4912y=4376$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4912 balioarekin.

$$y=\frac{547}{614}$$

Ordeztu \frac{547}{614} y balioarekin 71x+179y=-287 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

Egin 179 bider \frac{547}{614}.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

Egin ken \frac{97913}{614} ekuazioaren bi aldeetan.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 71 balioarekin.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$